Setembre de 2011 - Sèrie 2 - Qüestió 3

Donada la funció $f (x)=x^3+ ax^2+ bx+ c$:

1. Determineu la relació que han de complir els paràmetres $a$, $b$ i $c$ perquè $f(x)$ tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa $x=-1$.

   Solució:

   Per a resoldre aquesta i les següents qüestions ens calen la primera, la segona i la tercera derivada de la funció $f(x)$:

   $f'(x) = 3x^2+ 2ax+ b$

   $f''(x) = 6x + 2a$

   $f'''(x) = 6$

   Si $f(x)$ ha de tenir un extrem relatiu en el punt d'abscissa $x=-1$, s'ha de complir que $f'(-1)=0$ i que $f''(-1) \ne 0$. Per tant:

   $f'(-1)=0 \quad \Rightarrow \quad 3 - 2a + b = 0$

   $f''(-1) \ne 0 \quad \Rightarrow \quad -6 + 2a \ne 0 \quad \Rightarrow \quad a \ne 3$

2. Calculeu el valor del paràmetre $a$ perquè hi hagi un punt d'inflexió de la funció $f(x)$ en el punt d'abscissa $x=0$.

   Solució:

   Si $f(x)$ ha de tenir un punt d'inflexió en el punt d'abscissa $x=0$, s'ha de complir que $f''(0)=0$ i que $f'''(0) \ne 0$. Per tant:

   $f''(0)=0 \quad \Rightarrow \quad 6·0 + 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0$

   $f''(0) \ne 0 \quad \Rightarrow \quad 6 \ne 0 \quad$ (Això ja és compleix sense haver-ne d'imposar cap condició)

3. Determineu la relació entre els paràmetres $a$, $b$ i $c$ sabent que la gràfica de $f(x)$ talla l'eix $OX$ en el punt d'abscissa $x=-2$.

   Solució:

   Si la gràfica de $f(x)$ talla l'eix $OX$ en el punt d'abscissa $x=-2$, s'ha de complir que $f(-2) = 0$. Per tant:

   $f(-2)=0 \quad \Rightarrow \quad -8 + 4a - 2b + c = 0$

4. Calculeu el valor dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ perquè es compleixin les tres propietats anteriors alhora.

   Solució:

   Si s'han de complir les tres propietats alhora, hem de resoldre el següent sistema:

   $\left . \begin{array}{rrr} 3-2a+b & = & 0 \\ a & = & 0 \\ -8+4a-2b & = & 0 \end{array} \right \rbrace \quad \Rightarrow \quad (a=0, \; b=-3, \; c=2)$