Full d'exercicis III

Exercici 1

Donada la matriu \(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{crr} \lambda&1&1 \\ 0&\lambda&1 \\ \lambda-1&2&2 \end{array} \right) \)

1. Troba els valors de \( \lambda \) que fan que \(\boldsymbol{A}\) sigui invertible.

   Solució:

   \(\boldsymbol{A}\) és invertible \( \forall \lambda \in \mathbb{R} - \left\lbrace \pm 1 \right\rbrace \)

2. Troba \(\boldsymbol{A}^{-1}\) per \( \lambda = 3\)

   Solució:

   \(\boldsymbol{A}^{-1} = \displaystyle \frac{1}{8} \left( \begin{array}{rrr} 4&0&-2 \\ 2&4&-3 \\ -6&-4&9 \end{array}\right) \)

Exercici 2

Té inversa la matriu següent? Per què?

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{array}\right) \)

Solució:

Exercici 3

Calculeu el determinant de l'inversa de la següent matriu:

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&1&1 \\ 2&3&1 \\ 0&5&1 \end{array}\right) \)

Solució:

Exercici 4

Dues de les tres matrius següents no tenen inversa. Digueu quines són i perquè no en tenen, i calculeu la inversa de la que sí en té.

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 2&1&1 \\ 0&1&2 \end{array}\right) \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rrr} 1&1&0 \\ 1&2&1 \\ 2&3&1 \end{array}\right) \quad \quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rrr} 1&1&0 \\ 1&2&0 \\ 2&0&3 \end{array}\right) \)

Solució:

Exercici 5

Troba el rang de les següents matrius:

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrrr} 6&1&3&0 \\ 1&2&0&5 \\ 4&-3&3&-10 \end{array} \right) \quad \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rrrr} 1&0&2&0 \\ 2&1&3&1 \\ 3&1&5&0 \end{array} \right) \)

Solució:

Exercici 6

Resol el següent sistema matricial:

\( \left. \begin{array}{r} 3\boldsymbol{X}-2\boldsymbol{Y} = \left( \begin{array}{rr} 1&0 \\ 5&9 \end{array} \right) \\ 2\boldsymbol{X}+ \boldsymbol{Y} = \left( \begin{array}{rr} 3&1 \\ 1&0 \end{array} \right) \end{array} \right \rbrace \)

Solució:

Exercici 7

Siguin les matrius \(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&1&0 \\ 0&-1&2 \\ 1&4&0 \end{array} \right) \) i \(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&3 \\ 0&5 \\ 1&0 \end{array} \right) \). Troba una matriu \(\boldsymbol{X}\) que verifiqui \( \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{X} = \boldsymbol{B} \)

Solució:

Exercici 8

Calculeu el rang de la següent matriu segons els valors del paràmetre \(a\):

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{ccc} a&1&a\\1&a&1\\0&1&a \end{array} \right) \)

Solució:

Exercici 9

Calculeu el rang de la següent matriu segons els valors del paràmetre \(m\):

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrrr} 1&-1&2&1\\2&1&-1&0\\3&0&m&m \end{array} \right) \)

Solució:

Exercici 10

Donades les matrius:

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 4&3\\5&4 \end{array} \right) \quad\quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 2&0\\1&2 \end{array} \right) \quad\quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rr} 1&1\\2&1 \end{array} \right) \)

1. Troba la matriu \( \boldsymbol{X} \) que verifica \( \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{X} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C} \)

   Solució:

   \( \boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1} \cdot (\boldsymbol{C}-\boldsymbol{B}) = \left( \begin{array}{rr} -7&7\\9&-9 \end{array} \right) \)

2. Troba la matriu \( \boldsymbol{Y} \) que verifica \( \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{Y} + \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{Y} = \boldsymbol{C} \)

   Solució:

   \( \boldsymbol{Y} = \left( \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \right)^{-1} \cdot \boldsymbol{C} = \displaystyle \frac{1}{6}\left( \begin{array}{rr} 0&1\\2&0 \end{array} \right) \)

3. Troba la matriu \( \boldsymbol{Z} \) que verifica \( \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{Z} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C} \)

   Solució:

   \( \boldsymbol{Z} = \boldsymbol{A}^{-1} \cdot \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{B}^{-1} = \displaystyle \frac{1}{4} \left( \begin{array}{rr} -5&2\\7&-2 \end{array} \right) \)