Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js

Matrius. Primeres definicions

Definició de matriu

Una matriu numèrica de dimensió m×n és un conjunt de nombres reals disposats en m files i n columnes:

\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)

Aquests nombres es diuen components o elements de la matriu.

Les matrius sempre es representen amb lletres majúscules i els seus elements amb minúscules, normalment amb la mateixa lletra que representa a la matriu, i amb dos subíndexs que indiquen la posició del nombre dins de la matriu. El primer subíndex indica la fila i el segon la columna.

Exemple

La següent matriu és una matriu de dimensió 3 \times 4:

\boldsymbol{A} = \left(\begin{array}{rrrr} 3&-5&4&0 \\ -1&0&-3&\sqrt{7} \\ 6&3&-2&0 \end{array}\right)

I alguns dels seus elements són:

a_{31}=6

a_{24}=\sqrt{7}

Notes:

Exercici 1

  1. Escriu la matriu \boldsymbol{A}=(a_{ij}) de dimensió 4 \times 2 on a_{ij}=i-3j
    Solució:
  2. Escriu la matriu \boldsymbol{B}=(b_{ij}) de dimensió 4 \times 3 on \displaystyle b_{ij}=\frac{i}{j}
    Solució:
  3. Escriu la matriu \boldsymbol{C}=(c_{ij}) de dimensió 2 \times 4 on c_{ij}=(-1)^{i}+(-1)^{j}
    Solució:
  4. Escriu la matriu \boldsymbol{D}=(d_{ij}) de dimensió 3 \times 3 on d_{ij}=i^j
    Solució:

Igualtat de matrius

Dos matrius \boldsymbol{A}=(a_{ij}) i \boldsymbol{B}=(b_{ij}) són iguals si tots els seus elements són iguals i estan col·locats de la mateixa manera.

\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \quad\Leftrightarrow\quad a_{ij}=b_{ij} \quad\forall i,j

Evidentment, perquè dos matrius siguin iguals han de tenir la mateixa dimensió.

Exemples

\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \ne \left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \ne \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)

Matriu fila i matriu columna

S'anomena matriu fila a tota matriu composta per una única fila i qualsevol nombre de columnes. La seva dimensió és 1 \times n.

S'anomena matriu columna a tota matriu composta per una única columna i qualsevol nombre de files. La seva dimensió és m \times 1.

Matriu nul·la

S'anomena matriu nul·la o matriu zero a tota matriu composta únicament per zeros. Poden ser de qualsevol dimensió.

Exemples

Matriu oposada i matriu transposada

La matriu oposada d'una matriu és una altra matriu de la mateixa dimensió que s'obté canviant cadascun dels elements pel seu oposat. Una matriu \boldsymbol{A} té una i només una matriu oposada, que s'indica per -\boldsymbol{A}.

\boldsymbol{A} = (a_{ij}) \quad\Rightarrow\quad -\boldsymbol{A} = (-a_{ij})

La matriu transposada d'una matriu és una altra matriu que s'obté intercanviant les files per les columnes. Una matriu \boldsymbol{A}, de dimensió m \times n , té una i només una matriu transposada, que s'indica per \boldsymbol{A}^\mathsf{T}i és de dimensió n \times m .

\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n} \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{A}^\mathsf{T} = (a_{ji})_{n \times m}

Exercici 2

Sigui la matriu \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 0 & 5 \\ 4 & -3 \end{array} \right)

  1. Escriu la matriu -\boldsymbol{A}

    Solució:
  2. Escriu la matriu \boldsymbol{A}^\mathsf{T}

    Solució:

Relacionades amb les matrius oposades i transposades tenim tres propietats trivials:

Nota:

Hi ha diferents notacions per la matriu transposada:


Llicència de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons