Matrius. Primeres definicions

Definició de matriu

Una matriu numèrica de dimensió $m \times n$ és un conjunt de nombres reals disposats en $m$ files i $n$ columnes:

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

Aquests nombres es diuen components o elements de la matriu.

Les matrius sempre es representen amb lletres majúscules i els seus elements amb minúscules, normalment amb la mateixa lletra que representa a la matriu, i amb dos subíndexs que indiquen la posició del nombre dins de la matriu. El primer subíndex indica la fila i el segon la columna.

Notes:

• Que una matriu sigui de dimensió $m \times n$, es pot dir d'altres maneres diferents:
  1. Matriu de dimensió $m \times n$
  2. Matriu de dimensió $(m,n)$
  3. Matriu d'ordre $m \times n$
  4. Matriu d'ordre $(m,n)$
  5. Matriu de dimensions $m \times n$
  6. Matriu de dimensions $(m,n)$
  7. Matriu $m \times n$
• Una matriu també es pot representar de manera abreujada com $\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m \times n}$, o també:

  $\boldsymbol{A}=(a_{ij}) \quad i=1,...,m; \quad j=1,...,n$

• De vegades, si les matrius tenen pocs elements, ens estalviarem els subíndexs i simplement farem servir lletres diferents.

  $\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{cc} a&b\\c&d\\e&f \end{array} \right) \; , \quad \boldsymbol{Q} = \left( \begin{array}{cc} r&s\\t&u \end{array} \right)$

Igualtat de matrius

Dos matrius $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$ i $\boldsymbol{B}=(b_{ij})$ són iguals si tots els seus elements són iguals i estan col·locats de la mateixa manera.

$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \quad\Leftrightarrow\quad a_{ij}=b_{ij} \quad\forall i,j$

Evidentment, perquè dos matrius siguin iguals han de tenir la mateixa dimensió.

Matriu fila i matriu columna

S'anomena matriu fila a tota matriu composta per una única fila i qualsevol nombre de columnes. La seva dimensió és $1 \times n$.

S'anomena matriu columna a tota matriu composta per una única columna i qualsevol nombre de files. La seva dimensió és $m \times 1$.

Matriu nul·la

S'anomena matriu nul·la o matriu zero a tota matriu composta únicament per zeros. Poden ser de qualsevol dimensió.

Matriu oposada i matriu transposada

La matriu oposada d'una matriu és una altra matriu de la mateixa dimensió que s'obté canviant cadascun dels elements pel seu oposat. Una matriu $\boldsymbol{A}$ té una i només una matriu oposada, que s'indica per $-\boldsymbol{A}$.

$\boldsymbol{A} = (a_{ij}) \quad\Rightarrow\quad -\boldsymbol{A} = (-a_{ij})$

La matriu transposada d'una matriu és una altra matriu que s'obté intercanviant les files per les columnes. Una matriu $\boldsymbol{A}$, de dimensió $m \times n$, té una i només una matriu transposada, que s'indica per $\boldsymbol{A}^\mathsf{T}$i és de dimensió $n \times m$.

$\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n} \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{A}^\mathsf{T} = (a_{ji})_{n \times m}$

Relacionades amb les matrius oposades i transposades tenim tres propietats trivials:

• $-(-\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{A}$
• $(\boldsymbol{A}^\mathsf{T})^\mathsf{T} = \boldsymbol{A}$
• $-(\boldsymbol{A}^\mathsf{T}) = (-\boldsymbol{A})^\mathsf{T}$

Nota:

Hi ha diferents notacions per la matriu transposada:

• $\boldsymbol{A}^\mathsf{T}$
• $\boldsymbol{A}^t$
• $^t \boldsymbol{A}$

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons