Processing math: 100%

Integració per parts

Integració per parts

El mètode d'integració per parts es basa en la derivada d'un producte i es fa servir per calcular algunes integrals de productes de funcions.

(uv)=uv+uv(uv)dx=uvdx+uvdxuv=uvdx+uvdxuvdx=uvuvdx

Aquesta equació expressa la integral uvdx en termes d'una altra integral uvdx. L'estratègia adequada per aplicar aquest mètode és separar la integral inicial en un producte de dues funcions uv de tal manera que la segona integral sigui més senzilla d'avaluar. Per tant serà convenient triar com a funció u una funció que es simplifiqui quan es derivi o com a funció v una funció que es simplifiqui quan s'integri.

Si fem servir els diferencials du=udx i dv=vdx, aleshores la regla de la integració per parts es pot escriure:

udv=uvvdu

Exemple

Volem calcular la integral:

xsinxdx

Per aconseguir-ho prenem:

{u=xdu=dxdv=sinxdxv=cosx}

Aleshores:

xsinxdx=x(cosx)(cosx)dx=xcosx+cosxdx=xcosx+sinx+C

Exemple

Volem calcular la integral:

arctanxdx

Per aconseguir-ho prenem:

{u=arctanxdu=11+x2dxdv=dxv=x}

Aleshores:

arctanxdx=xarctanxx11+x2dx=xarctanx122x1+x2dx=xarctanx12ln(1+x2)+C

Exemple

Volem calcular la integral:

x2exdx

Per aconseguir-ho prenem:

{u=x2du=2xdxdv=exdxv=ex}

Aleshores:

x2exdx=x2ex2xexdx=x2ex2xexdx

Aquesta segona integral és més senzilla però no és immediata. Hem de tornar a integrar per parts:

{u=xdu=dxdv=exdxv=ex}

x2exdx=x2ex2xexdx=x2ex2[xexexdx]=x2ex2[xexex]+C=(x22x+2)ex+C

Exemple

Volem calcular la integral:

exsinxdx

Per aconseguir-ho prenem:

{u=exdu=exdxdv=sinxdxv=cosx}

Aleshores:

exsinxdx=ex(cosx)ex(cosx)dx=excosx+excosxdx

Aquesta segona integral no és immediata. Hem de tornar a integrar per parts:

{u=exdu=exdxdv=cosxdxv=sinx}


exsinxdx=excosx+excosxdx=excosx+[exsinxexsinxdx]=excosx+exsinxexsinxdx

La integral que hem obtingut en aquest segon pas és la integral del començament. Ara podem fer:

exsinxdx=excosx+exsinxexsinxdx2exsinxdx=excosx+exsinxexsinxdx=ex2(sinxcosx)+C

Exercici 17

Calcula les següents integrals indefinides:

a) arcsinxdx Solució:
b) xcosxdx Solució:
c) x2cosxdx Solució:
d) (x+5)exdx Solució:
e) e2xcos(4x)dx Solució:
f) lnxdx Solució:


Llicència de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons