Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons
El mètode d'integració per parts es basa en la derivada d'un producte i es fa servir per calcular algunes integrals de productes de funcions.
(uv)′=u′v+uv′⇒∫(uv)′dx=∫u′vdx+∫uv′dx⇒uv=∫u′vdx+∫uv′dx⇒∫uv′dx=uv−∫u′vdx
Aquesta equació expressa la integral ∫uv′dx en termes d'una altra integral ∫u′vdx. L'estratègia adequada per aplicar aquest mètode és separar la integral inicial en un producte de dues funcions uv′ de tal manera que la segona integral sigui més senzilla d'avaluar. Per tant serà convenient triar com a funció u una funció que es simplifiqui quan es derivi o com a funció v′ una funció que es simplifiqui quan s'integri.
Si fem servir els diferencials du=u′dx i dv=v′dx, aleshores la regla de la integració per parts es pot escriure:
∫udv=uv−∫vdu
Exemple
Volem calcular la integral:
∫x⋅sinxdx
Per aconseguir-ho prenem:
{u=x→du=dxdv=sinxdx→v=−cosx}
Aleshores:
∫x⋅sinxdx=x⋅(−cosx)−∫(−cosx)dx=−xcosx+∫cosxdx=−xcosx+sinx+C
Exemple
Volem calcular la integral:
∫arctanxdx
Per aconseguir-ho prenem:
{u=arctanx→du=11+x2dxdv=dx→v=x}
Aleshores:
∫arctanxdx=x⋅arctanx−∫x⋅11+x2dx=x⋅arctanx−12∫2x1+x2dx=x⋅arctanx−12⋅ln(1+x2)+C
Exemple
Volem calcular la integral:
∫x2exdx
Per aconseguir-ho prenem:
{u=x2→du=2xdxdv=exdx→v=ex}
Aleshores:
∫x2exdx=x2ex−∫2xexdx=x2ex−2∫xexdx
Aquesta segona integral és més senzilla però no és immediata. Hem de tornar a integrar per parts:
{u=x→du=dxdv=exdx→v=ex}
∫x2exdx=x2ex−2∫xexdx=x2ex−2[xex−∫exdx]=x2ex−2[xex−ex]+C=(x2−2x+2)ex+C
Exemple
Volem calcular la integral:
∫exsinxdx
Per aconseguir-ho prenem:
{u=ex→du=exdxdv=sinxdx→v=−cosx}
Aleshores:
∫exsinxdx=ex(−cosx)−∫ex(−cosx)dx=−excosx+∫excosxdx
Aquesta segona integral no és immediata. Hem de tornar a integrar per parts:
{u=ex→du=exdxdv=cosxdx→v=sinx}
∫exsinxdx=−excosx+∫excosxdx=−excosx+[exsinx−∫exsinxdx]=−excosx+exsinx−∫exsinxdx
La integral que hem obtingut en aquest segon pas és la integral del començament. Ara podem fer:
∫exsinxdx=−excosx+exsinx−∫exsinxdx⇒2∫exsinxdx=−excosx+exsinx⇒∫exsinxdx=ex2⋅(sinx−cosx)+C
Exercici 17
Calcula les següents integrals indefinides:
| a) ∫arcsinxdx | Solució: | |
| b) ∫xcosxdx | Solució: | |
| c) ∫x2cosxdx | Solució: | |
| d) ∫(x+5)exdx | Solució: | |
| e) ∫e2xcos(4x)dx | Solució: | |
| f) ∫lnxdx | Solució: |