Processing math: 100%

Equació de la recta a l'espai

Equació de la recta a l'espai

Una equació d'una recta en l'espai és una relació que verifiquen les coordenades (x,y,z) de tots els punts de la recta.


Equació vectorial

Sigui P(x0,y0,z0) un punt qualsevol d'una recta r i sigui v=(vx,vy,vz) un vector director de la recta, aleshores les coordenades d'un punt genèric X(x,y,z) de la recta verifiquen la següent equació:

OX=OP+λv,λR

O, equivalentment:

(x,y,z)=(x0,y0,z0)+λ(vx,vy,vz),λR


Equacions paramètriques

Les equacions paramètriques d'una recta a l'espai són les tres equacions que s'obtenen quan s'igualen els components de l'equació vectorial:

{x=x0+λvxy=y0+λvyz=z0+λvz,λR


Equacions contínues

Si de cadascuna de les equacions paramètriques s'aïlla λ, s'obté:

λ=xx0vx,λ=yy0vy,λ=zz0vz

Si s'igualen aquestes expressions:

xx0vx=yy0vy=zz0vz

Aquestes igualtats s'anomenen equacions contínues de la recta


Observacions:

Exercici 1

Determina tres punts de la recta r:(x,y,z)=(2,1,3)+λ(1,1,2).

Solució:

Exercici 2

Escriu les equacions paramètriques de la recta que passa pel punt P(5,1,0) i té la direcció del vector v=(2,0,1).

Solució:

Exercici 3

Escriu l'equació vectorial i les equacions contínues de la recta que passa pels punts P(3,5,4) i Q(6,2,5).

Solució:

Exercici 4

Troba un vector unitari en la direcció de la recta r:2x3=y+1=z5.

Solució:

Exercici 5

Escriu l'equació vectorial de cadascuna de les rectes que determinen els eixos de coordenades.

Solució:

Exercici 6

Comprova si el punt P(10,4,11) pertany a les següents rectes:

r:x43=y+23=z15 Solució:
s:(x,y,z)=(2,8,3)+λ(2,3,2) Solució:

Llicència de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons
Application loaded.