MATES 2BATX. Derivades.

Sigui

$f(x)$ una funció derivable en

$x=a$ . La recta tangent a la funció en

$x=a$ és la recta que passa pel punt

$\Big( a,f(a) \Big)$ i que el seu pendent és

$f'(a)$ . La seva equació és:

Exemple

Volem calcular l'equació de la recta tangent a la funció $f(x)=x^2+x-1$ en $x=1$ . Primer calculem la derivada:

$f'(x)=2x+1$

Ara calculem $f(1)$ i $f'(1)$ :

$\displaystyle \begin{array}{l} f(1) = 1^2 + 1 - 1 = 1\\ f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \end{array}$

I ja podem escriure l'equació de la recta tangent.

$y-1 = 3 \cdot \left( x-1 \right) \quad\Rightarrow\quad \bbox[15px,border:1px solid]{y=3x-2}$

0,0

$1$

$f(x)=x^2+x-1$

$y=3x-2$

Exemple

Volem calcular l'equació de la recta tangent a la funció $f(x)=x^2+2x$ paral·lela a la recta $y=-2x+1$ . Comencem calculant la derivada:

$f'(x)=2x+2$

Ara igualem aquesta derivada al pendent de la recta $m=-2$ per trobar el valor de $x$ .

$2x+2=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-2$

Ara calculem $f(-2)$ . No cal que calculem $f'(-2)$ perquè és igual al pendent de la recta.

$f(-2) = (-2)^2 + 2\cdot(-2) = 0$

I ja podem escriure l'equació de la recta tangent.

$y-0 = -2 \cdot \left( x-(-2) \right) \quad\Rightarrow\quad \bbox[15px,border:1px solid]{y=-2x-4}$

0,0

$1$

$f(x)=x^2+2x$

$y=-2x+1$

$y=-2x-4$

Exercici 37

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x)=x^3-2x$ en el punt d'abscissa $x=2$ .

Solució:

0,0

$1$

$f(x)$

$y=10x-16$

Exercici 38

Troba les equacions de les rectes tangents a la gràfica de la funció $f(x)=x^3+3x^2+2x+1$ en els punts d'ordenada $y=1$ .

Solució:

0,0

$1$

$f(x)$

$y=2x+5$

$y=2x+1$

$y=-x$

Exercici 39

Troba les equacions de les rectes tangents a la gràfica de la funció $f(x)=x^3-3x^2+x+1$ paral·leles a la recta $x-y+3=0$ .

Solució:

0,0

$1$

$f(x)$

$y=x+3$

$y=x+1$

$y=x-3$

Exercici 40

Determina les abscisses dels punts de la gràfica de la funció $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1-x^2}$ en què la recta tangent té una inclinació de $45^{\circ}$ .

Solució:

0,0

$1$

$f(x)$

$-\sqrt{3}$

$0$

$\sqrt{3}$

$\displaystyle f'(x)=\tan{45^{\circ}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1+x^2}{\left(1-x^2\right)^2}=1 \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} x=0 \\[6pt] x=\pm\sqrt{3} \end{array}\right.$

Equació de la recta normal a una funció en un punt.

Sigui

$f(x)$ una funció derivable en

$x=a$ . La recta normal a la funció en

$x=a$ és la recta que passa pel punt

$\Big( a,f(a) \Big)$ i que és perpendicular a la recta tangent. El seu pendent és

$\displaystyle -\frac{1}{f'(a)}$ i la seva equació:

$\displaystyle \bbox[15px,border:1px solid]{y-f(a) = -\frac{1}{f'(a)} \cdot \left( x-a \right)}$

Exercici 41

Troba l'equació de la recta normal a la gràfica de la funció $f(x)=x^2-2x+1$ que passa pel punt d'abscissa $x=2$ .

Solució:

0,0

$1$

$f(x)$

$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+2$

Recta tangent i recta normal

Equació de la recta tangent a una funció en un punt.

Equació de la recta normal a una funció en un punt.