Sigui f(x) una funció derivable en x=a. La recta tangent a la funció en x=a és la recta que passa pel punt (a,f(a)) i que el seu pendent és f′(a). La seva equació és:
y−f(a)=f′(a)⋅(x−a)
Exemple
Volem calcular l'equació de la recta tangent a la funció f(x)=x2+x−1 en x=1. Primer calculem la derivada:
f′(x)=2x+1
Ara calculem f(1) i f′(1):
f(1)=12+1−1=1f′(1)=2⋅1+1=3
I ja podem escriure l'equació de la recta tangent.
y−1=3⋅(x−1)⇒y=3x−2
Exemple
Volem calcular l'equació de la recta tangent a la funció f(x)=x2+2x paral·lela a la recta y=−2x+1. Comencem calculant la derivada:
f′(x)=2x+2
Ara igualem aquesta derivada al pendent de la recta m=−2 per trobar el valor de x.
2x+2=−2⇒x=−2
Ara calculem f(−2). No cal que calculem f′(−2) perquè és igual al pendent de la recta.
f(−2)=(−2)2+2⋅(−2)=0
I ja podem escriure l'equació de la recta tangent.
y−0=−2⋅(x−(−2))⇒y=−2x−4
Exercici 37
Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x)=x3−2x en el punt d'abscissa x=2.
Solució:Exercici 38
Troba les equacions de les rectes tangents a la gràfica de la funció f(x)=x3+3x2+2x+1 en els punts d'ordenada y=1.
Solució:Exercici 39
Troba les equacions de les rectes tangents a la gràfica de la funció f(x)=x3−3x2+x+1 paral·leles a la recta x−y+3=0.
Solució:Exercici 40
Determina les abscisses dels punts de la gràfica de la funció f(x)=x1−x2 en què la recta tangent té una inclinació de 45∘.
Solució:Sigui f(x) una funció derivable en x=a. La recta normal a la funció en x=a és la recta que passa pel punt (a,f(a)) i que és perpendicular a la recta tangent. El seu pendent és −1f′(a) i la seva equació:
y−f(a)=−1f′(a)⋅(x−a)
Exercici 41
Troba l'equació de la recta normal a la gràfica de la funció f(x)=x2−2x+1 que passa pel punt d'abscissa x=2.
Solució: