Processing math: 100%

Recta tangent i recta normal

Equació de la recta tangent a una funció en un punt.

Sigui f(x) una funció derivable en x=a. La recta tangent a la funció en x=a és la recta que passa pel punt (a,f(a)) i que el seu pendent és f(a). La seva equació és:

yf(a)=f(a)(xa)

Exemple

Volem calcular l'equació de la recta tangent a la funció f(x)=x2+x1 en x=1. Primer calculem la derivada:

f(x)=2x+1

Ara calculem f(1) i f(1):

f(1)=12+11=1f(1)=21+1=3

I ja podem escriure l'equació de la recta tangent.

y1=3(x1)y=3x2

1
1
f(x)=x2+x1
y=3x2

Exemple

Volem calcular l'equació de la recta tangent a la funció f(x)=x2+2x paral·lela a la recta y=2x+1. Comencem calculant la derivada:

f(x)=2x+2

Ara igualem aquesta derivada al pendent de la recta m=2 per trobar el valor de x.

2x+2=2x=2

Ara calculem f(2). No cal que calculem f(2) perquè és igual al pendent de la recta.

f(2)=(2)2+2(2)=0

I ja podem escriure l'equació de la recta tangent.

y0=2(x(2))y=2x4

1
1
f(x)=x2+2x
y=2x+1
y=2x4

Exercici 37

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x)=x32x en el punt d'abscissa x=2.

Solució:
1
1
f(x)

Exercici 38

Troba les equacions de les rectes tangents a la gràfica de la funció f(x)=x3+3x2+2x+1 en els punts d'ordenada y=1.

Solució:
1
1
f(x)

Exercici 39

Troba les equacions de les rectes tangents a la gràfica de la funció f(x)=x33x2+x+1 paral·leles a la recta xy+3=0.

Solució:
1
1
f(x)
y=x+3

Exercici 40

Determina les abscisses dels punts de la gràfica de la funció f(x)=x1x2 en què la recta tangent té una inclinació de 45.

Solució:
1
1
f(x)

Equació de la recta normal a una funció en un punt.

Sigui f(x) una funció derivable en x=a. La recta normal a la funció en x=a és la recta que passa pel punt (a,f(a)) i que és perpendicular a la recta tangent. El seu pendent és 1f(a) i la seva equació:

yf(a)=1f(a)(xa)

Exercici 41

Troba l'equació de la recta normal a la gràfica de la funció f(x)=x22x+1 que passa pel punt d'abscissa x=2.

Solució:
1
1
f(x)

Llicència de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons