Exercicis de polinomis V
Exercici 1
Factoritza els següents polinomis:
| a) \(\displaystyle 9x^2-4 \) |
Solució: |
\(\displaystyle 9 \cdot \left( x-\frac{2}{3} \right) \cdot \left( x+\frac{2}{3} \right)\)
|
| b) \(\displaystyle 2x^4-32 \) |
Solució: |
\(\displaystyle 2 \cdot \left( x-2 \right) \cdot \left( x+2 \right) \cdot \left( x^2+4 \right) \)
|
| c) \(\displaystyle x^3+3x^2+3x+1 \) |
Solució: |
\(\displaystyle \left( x+1 \right)^3 \)
|
| d) \(\displaystyle 3x^2+3x+\frac{3}{4} \) |
Solució: |
\(\displaystyle 3 \cdot \left( x+\frac{1}{2} \right)^{2} \)
|
| e) \(\displaystyle x^4-5x^3+6x^2 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x^2 \cdot \left( x-3 \right)\cdot \left( x-2 \right) \)
|
| f) \(\displaystyle x^4-29x^2+100 \) |
Solució: |
\(\displaystyle\left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)\cdot\left(x+5\right)\)
|
Exercici 2
Factoritza els següents polinomis:
| a) \(\displaystyle x^3+6x^2-7x-60 \) |
Solució: |
\(\displaystyle \left( x-3 \right) \cdot \left( x+4 \right) \cdot \left( x+5 \right) \)
|
| b) \(\displaystyle x^4-12x^3+54x^2-108x+81 \) |
Solució: |
\(\displaystyle \left( x-3 \right)^4 \)
|
| c) \(\displaystyle 6x^3-18x+12 \) |
Solució: |
\(\displaystyle 6 \cdot \left( x+2 \right) \cdot \left( x-1 \right)^2 \)
|
| d) \(\displaystyle x^4-4x^3+6x^2-8x+8 \) |
Solució: |
\(\displaystyle \left( x-2 \right)^2 \cdot \left( x^2+2 \right) \)
|
Exercici 3
Les arrels d'un polinomi de tercer grau són \(1\), \(-1\) i \(\displaystyle\frac{2}{3}\), i el coeficient de \(x^3\) és \(9\). Quin és aquest polinomi?
Solució:
\(\displaystyle
9 \cdot \left( x-1 \right)\cdot\left( x+1 \right)\cdot\left( x-\frac{2}{3} \right)
\quad=\quad 9x^3-6x^2-9x+6
\)
Exercici 4
Factoritza els següents polinomis:
| a) \(\displaystyle 24x^3+14x^2-7x-3 \) |
Solució: |
\(\displaystyle 24\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(x+\frac{3}{4}\right)\)
|
| b) \( \displaystyle 16x^4-32x^3+24x^2-8x+1 \) |
Solució: |
\(\displaystyle 16\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)^4\)
|
Exercici 5
Factoritza els següents polinomis:
| a) \(\displaystyle x^4+2x^3-x^2-4x-2 \) |
Solució: |
\(\displaystyle \left( x+1 \right)^2 \cdot \left( x+\sqrt{2} \right) \cdot \left( x-\sqrt{2} \right) \)
|
| b) \(\displaystyle x^3-2x-1 \) |
Solució: |
\(\displaystyle\left(x+1\right)\cdot\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cdot\left(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \)
|
Exercici 6
Calcula el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis \(P(x)=x^3+4x^2+5x+2\) i \(Q(x)=x^3+5x^2+8x+4\).
Solució:
\(\displaystyle \text{m.c.d.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = x^2+3x+2 \)
\(\displaystyle \text{m.c.m.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = x^4+6x^3+13x^2+12x+4 \)
Exercici 7
Calcula el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis \(P(x)=6x^2+12x-18\) i \(Q(x)=4x^2-4\).
Solució:
\(\displaystyle \text{m.c.d.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = 2x-2 \)
\(\displaystyle \text{m.c.m.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = 12x^3+36x^2-12x-36 \)
Exercici 8
Calcula el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis \(P(x)=x^3+x^2-9x-9\), \(Q(x)=x^3+3x^2-x-3\) i \(R(x)=x^3-x^2-9x+9\).
Solució:
\(\displaystyle \text{m.c.d.}\Big[ P(x),Q(x),R(x) \Big] = x+3 \)
\(\displaystyle \text{m.c.m.}\Big[ P(x),Q(x),R(x) \Big] = x^4-10x^2+9 \)
Exercici 9
Calcula el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis \(P(x)=x^2+3x-4\) i \(Q(x)=x^3-x^2-16x+16\).
Solució:
\(\displaystyle \text{m.c.d.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = x^2+3x-4 = P(x) \)
\(\displaystyle \text{m.c.m.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = x^3-x^2-16x+16 = Q(x) \)
Exercici 10
Calcula el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis \(P(x)=x^2+3x-4\) i \(Q(x)=x^2-4\).
Solució:
\(\displaystyle \text{m.c.d.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = 1 \)
\(\displaystyle \text{m.c.m.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = P(x) \cdot Q(x) = x^4+3x^3-8x^2-12x+16 \)
Exercici 11
Calcula el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis \(P(x)=x^3+3x^2-x-3\) i \(Q(x)=x^3+6x^2+11x+6\). Comprova que el producte dels dos polinomis que acabes de trobar és igual al producte dels polinomis \(P(x)\) i \(Q(x)\).
Solució:
\(\displaystyle \text{m.c.d.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = x^2+4x+3 \)
\(\displaystyle \text{m.c.m.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = x^4+5x^3+5x^2-5x-6 \)
\(\displaystyle P(x) \cdot Q(x) = (x-1) \cdot (x+2) \cdot (x+1)^2 \cdot (x+3)^2 \)
\(\displaystyle \text{m.c.m.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] \cdot \text{m.c.d.}\Big[ P(x),Q(x) \Big] = (x-1) \cdot (x+2) \cdot (x+1)^2 \cdot (x+3)^2 \)