La regla de Ruffini és un algorisme que permet obtenir el quocient i el residu que resulten de dividir un polinomi qualsevol entre un divisor de la forma \(x-a\).
Exemple
Volem dividir el polinomi \(D(x)=x^4+3x^3−2x-1\) entre \(x+2\). Si fem la divisió de la manera habitual, el resultat és:
| \(\phantom{}x^{4}\) | \(\phantom{}+ 3 x^{3}\) | \(\ldots\) | \(\phantom{}- 2 x\) | \(\phantom{}-1\) | \(x+ 2 \) |
| \(\phantom{}-x^{4}\) | \(\phantom{}- 2 x^{3}\) | \(x^{3}+x^{2}- 2 x+ 2 \) | |||
| \(\ldots\) | \(\phantom{}+x^{3}\) | \(\ldots\) | |||
| \(\phantom{}-x^{3}\) | \(\phantom{}- 2 x^{2}\) | ||||
| \(\ldots\) | \(\phantom{}- 2 x^{2}\) | \(\phantom{}- 2 x\) | |||
| \(\phantom{} 2 x^{2}\) | \(\phantom{}+ 4 x\) | ||||
| \(\ldots\) | \(\phantom{}+ 2 x\) | \(\phantom{}-1\) | |||
| \(\phantom{}- 2 x\) | \(\phantom{}- 4 \) | ||||
| \(\ldots\) | \(\phantom{}- 5 \) |
La regla de Ruffini permet fer la divisió d'una manera més àgil. El primer pas consisteix a col·locar els coeficients del dividend \(D(x)\) de la següent manera:
\(\displaystyle \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 3 & 0 & -2 & -1 \, \\ & & & & & \,\\\hline & & & & & \begin{array}{|r} \phantom{0} \\\hline\end{array} \end{array} \)
A continuació col·loquem el terme independent del divisor canviat de signe. En aquest exemple, com que el divisor és \(x+2\) col·loquem un \(-2\).
\(\displaystyle \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 3 & 0 & -2 & -1 \, \\ -2 & & & & & \,\\\hline & & & & & \begin{array}{|r} \phantom{0} \\\hline\end{array} \end{array} \)
La divisió es fa de la següent manera:
\(\displaystyle \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 3 & 0 & -2 & -1 \, \\ -2 & & -2 & -2 & 4 & -4 \,\\\hline & 1 & 1 & -2 & 2 & \begin{array}{|r} -5 \\\hline\end{array} \end{array} \)
\( Q(x) = x^{3}+x^{2}- 2 x+ 2 \)
\( R(x) = - 5 \)
Exercici 24
Fes servir la regla de Ruffini per realitzar la divisió \( (x^3-4x^2+3x-5 ) : (x-3) \).
Solució:Exercici 25
Fes servir la regla de Ruffini per realitzar la divisió \( (x^4-4x^2+x+4 ) : (x+2) \).
Solució:Exercici 26
Fes servir la regla de Ruffini per realitzar la divisió \(\displaystyle (9x^3+3x^2-x+1 ) : \left( x-\frac{1}{3} \right) \).
Solució:Exercici 27
Fes servir la regla de Ruffini per realitzar la divisió \(\displaystyle ( x^4-2x^3-3x^2+8 ) : \left( x-\frac{3}{2} \right) \).
Solució:El teorema del residu permet trobar el valor numèric d'un polinomi \(P(x)\) per a un valor \(x=a\) sense substituir directament en ells la variable pel nombre \(a\). Fent servir aquest teorema podrem trobar les arrels dels polinomis.
Teorema del residu
El valor numèric que adopta un polinomi \(P(x)\) quan \(x\) pren el valor \(a\) coincideix amb el residu que s'obté al dividir \(P(x)\) entre \(x-a\).
Demostració
Al dividir un polinomi \(P(x)\) entre un altre \(d(x)\), es verifica l'expressió:
\(P(x) = d(x) \cdot Q(x) + R(x)\),
on \(Q(x)\) i \(R(x)\) són respectivament, el quocient i el residu de la divisió. En aquest cas el divisor és de la forma \(x-a\), és a dir un polinomi mònic de grau \(1\), i el residu és un polinomi de grau \(0\), és a dir un nombre real \(r\). Per tant:
\(P(x) = (x-a) \cdot Q(x) + r\).
Si es substitueix \(x\) per \(a\):
\(P(a) = (a-a) \cdot Q(a) + r = 0 \cdot Q(a) + r = r \),
que és precisament el que es volia demostrar.
Exercici 28
Indiqueu, sense fer la divisió, si el polinomi \(A(x)=2x^3−3x^2+6\) és divisible per \(x+2\).
Solució:Exercici 29
Determina el valor de \(k\) per tal que la divisió del polinomi \( D(x) = x^4-2x^3-x^2+2x+k \) entre \( x-3 \) sigui exacta.
Solució: