Processing math: 100%

Divisió de polinomis II

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini és un algorisme que permet obtenir el quocient i el residu que resulten de dividir un polinomi qualsevol entre un divisor de la forma xa.

Exemple

Volem dividir el polinomi D(x)=x4+3x32x1 entre x+2. Si fem la divisió de la manera habitual, el resultat és:

x4+3x32x1x+2
x42x3x3+x22x+2
+x3
x32x2
2x22x
2x2+4x
+2x1
2x4
5

La regla de Ruffini permet fer la divisió d'una manera més àgil. El primer pas consisteix a col·locar els coeficients del dividend D(x) de la següent manera:

130210

A continuació col·loquem el terme independent del divisor canviat de signe. En aquest exemple, com que el divisor és x+2 col·loquem un 2.

1302120

La divisió es fa de la següent manera:

130212224411225

Q(x)=x3+x22x+2

R(x)=5

Exercici 24

Fes servir la regla de Ruffini per realitzar la divisió (x34x2+3x5):(x3).

Solució:

Exercici 25

Fes servir la regla de Ruffini per realitzar la divisió (x44x2+x+4):(x+2).

Solució:

Exercici 26

Fes servir la regla de Ruffini per realitzar la divisió (9x3+3x2x+1):(x13).

Solució:

Exercici 27

Fes servir la regla de Ruffini per realitzar la divisió (x42x33x2+8):(x32).

Solució:

Teorema del residu

El teorema del residu permet trobar el valor numèric d'un polinomi P(x) per a un valor x=a sense substituir directament en ells la variable pel nombre a. Fent servir aquest teorema podrem trobar les arrels dels polinomis.

Teorema del residu

El valor numèric que adopta un polinomi P(x) quan x pren el valor a coincideix amb el residu que s'obté al dividir P(x) entre xa.

Demostració

Al dividir un polinomi P(x) entre un altre d(x), es verifica l'expressió:

P(x)=d(x)Q(x)+R(x),

on Q(x) i R(x) són respectivament, el quocient i el residu de la divisió. En aquest cas el divisor és de la forma xa, és a dir un polinomi mònic de grau 1, i el residu és un polinomi de grau 0, és a dir un nombre real r. Per tant:

P(x)=(xa)Q(x)+r.

Si es substitueix x per a:

P(a)=(aa)Q(a)+r=0Q(a)+r=r,

que és precisament el que es volia demostrar.

Exercici 28

Indiqueu, sense fer la divisió, si el polinomi A(x)=2x33x2+6 és divisible per x+2.

Solució:

Exercici 29

Determina el valor de k per tal que la divisió del polinomi D(x)=x42x3x2+2x+k entre x3 sigui exacta.

Solució:

Exercici 30

Troba el residu de la divisió (x30+1):(x1).

Solució:

Llicència de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons