MATES 1BATX. Polinomis.

La regla de Ruffini és un algorisme que permet obtenir el quocient i el residu que resulten de dividir un polinomi qualsevol entre un divisor de la forma

$x-a$ .

Exemple

Volem dividir el polinomi $D(x)=x^4+3x^3−2x-1$ entre $x+2$ . Si fem la divisió de la manera habitual, el resultat és:

$\phantom{}x^{4}$	$\phantom{}+ 3 x^{3}$	$\ldots$	$\phantom{}- 2 x$	$\phantom{}-1$	$x+ 2$
$\phantom{}-x^{4}$	$\phantom{}- 2 x^{3}$				$x^{3}+x^{2}- 2 x+ 2$
$\ldots$	$\phantom{}+x^{3}$	$\ldots$
	$\phantom{}-x^{3}$	$\phantom{}- 2 x^{2}$
	$\ldots$	$\phantom{}- 2 x^{2}$	$\phantom{}- 2 x$
		$\phantom{} 2 x^{2}$	$\phantom{}+ 4 x$
		$\ldots$	$\phantom{}+ 2 x$	$\phantom{}-1$
			$\phantom{}- 2 x$	$\phantom{}- 4$
			$\ldots$	$\phantom{}- 5$

La regla de Ruffini permet fer la divisió d'una manera més àgil. El primer pas consisteix a col·locar els coeficients del dividend $D(x)$ de la següent manera:

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 3 & 0 & -2 & -1 \, \\ & & & & & \,\\\hline & & & & & \begin{array}{|r} \phantom{0} \\\hline\end{array} \end{array}$

A continuació col·loquem el terme independent del divisor canviat de signe. En aquest exemple, com que el divisor és $x+2$ col·loquem un $-2$ .

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 3 & 0 & -2 & -1 \, \\ -2 & & & & & \,\\\hline & & & & & \begin{array}{|r} \phantom{0} \\\hline\end{array} \end{array}$

La divisió es fa de la següent manera:

El primer coeficient del quocient és igual que el del dividend.
Cadascun dels altres coeficients es calcula multiplicant l'anterior per –2 i sumant el producte amb el coeficient corresponent del dividend.
L'últim nombre obtingut és el residu de la divisió.

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 3 & 0 & -2 & -1 \, \\ -2 & & -2 & -2 & 4 & -4 \,\\\hline & 1 & 1 & -2 & 2 & \begin{array}{|r} -5 \\\hline\end{array} \end{array}$

$Q(x) = x^{3}+x^{2}- 2 x+ 2$

$R(x) = - 5$

Exercici 27

Fes servir la regla de Ruffini per realitzar la divisió $\displaystyle ( x^4-2x^3-3x^2+8 ) : \left( x-\frac{3}{2} \right)$ .

Solució:

$\displaystyle Q(x) = x^3-\frac{1}{2}x^2-\frac{15}{4}x-\frac{45}{8}$

$\displaystyle R(x) = -\frac{7}{16}$

Teorema del residu

El teorema del residu permet trobar el valor numèric d'un polinomi

$P(x)$ per a un valor

$x=a$ sense substituir directament en ells la variable pel nombre

$a$ . Fent servir aquest teorema podrem trobar les arrels dels polinomis.

$Q(x)$ i

$R(x)$ són respectivament, el quocient i el residu de la divisió. En aquest cas el divisor és de la forma

$x-a$ , és a dir un polinomi mònic de grau

$1$ , i el residu és un polinomi de grau

$0$ , és a dir un nombre real

$r$ . Per tant:

Exercici 28

Indiqueu, sense fer la divisió, si el polinomi $A(x)=2x^3−3x^2+6$ és divisible per $x+2$ .

Solució:

Apliquem el teorema del residu:

$A(-2) = 2(-2)^3−3(-2)^2+6 = -22 \ne 0$

Com que $A(-2) \ne 0$ , $A(x)$ no és divisible entre $x+2$ .

Exercici 29

Determina el valor de $k$ per tal que la divisió del polinomi $D(x) = x^4-2x^3-x^2+2x+k$ entre $x-3$ sigui exacta.

Solució:

$\begin{align} D(3) = 0 \quad & \Rightarrow \quad 3^4 - 2\cdot3^3 - 3^2 + 2\cdot3 + k = 0\\[6pt] & \Rightarrow \quad 24 + k = 0 \\[6pt] & \Rightarrow \quad k = -24 \end{align}$

Divisió de polinomis II

Regla de Ruffini

Teorema del residu