Siguin dos polinomis D(x) i d(x), tals que el grau de D(x) sigui més gran que el grau de d(x). Efectuar la divisió D(x):d(x) consisteix a trobar dos polinomis Q(x) i R(x) que verifiquin:
Els polinomis reben el mateix nom que a les divisions amb nombres:
D(x) | és el polinomi dividend, |
d(x) | és el polinomi divisor, |
Q(x) | és el polinomi quocient i |
R(x) | és el polinomi residu. |
Exemple
Volem fer la divisió dels polinomis D(x)=2x4+5x3−7x+1 i d(x)=x3+2x2−2. El grau del polinomi quocient Q(x) és igual a la resta dels graus dels polinomis D(x) i d(x), és a dir grau(Q(x))=1, i per tant podem escriure:
Q(x)=ax+b
El grau del polinomi residu R(x) ha de ser inferior al grau del polinomi divisor. L'escrivim com un polinomi de grau 2.
R(x)=cx2+dx+e
S'ha de verificar que:
D(x)=Q(x)⋅R(x)+d(x),
per tant:
2x4+5x3−7x+1=(ax+b)⋅(x3+2x2−2)+(cx2+dx+e)=ax4+2ax3−2ax+bx3+2bx2−2b+cx2+dx+e=ax4+(2a+b)x3+(2b+c)x2+(−2a+d)x+(−2b+e)
Igualant els coeficients dels dos polinomis de grau 4:
Coeficientsdegrau4→a=2Coeficientsdegrau3→2a+b=5→b=1Coeficientsdegrau2→2b+c=0→c=−2Coeficientsdegrau1→−2a+d=−7→d=−3Coeficientsdegrau0→−2b+e=1→e=3
Aleshores el polinomis quocient i residu són:
Q(x)=2x+1
R(x)=−2x2−3x+3
Exercici 20
Fes servir el mètode anterior per realitzar la divisió (x3+3x2−3x−4):(x2+2x−2). Indica clarament el quocient Q(x) i el residu R(x).
Solució:Exercici 21
Fes servir el mètode anterior per realitzar la divisió (x4−2x3+3x2+x−2):(x2+2). Indica clarament el quocient Q(x) i el residu R(x).
Solució:La divisió de polinomis també es pot fer col·locant els polinomis com si es tractés d’una divisió entre nombres naturals de més d’una xifra.
D(x)d(x)R(x)Q(x)DividenddivisorResiduQuocient
Exemple
Volem fer la divisió del polinomi D(x)=2x5−3x4+2x3+6x−1 entre d(x)=x2−2x+2, amb aquest mètode.
2x5 | −3x4 | +2x3 | … | +6x | −1 | x2−2x+2 |
−2x5 | +4x4 | −4x3 | ||||
… | +x4 | −2x3 | … | |||
−x4 | +2x3 | −2x2 | ||||
… | … | −2x2 | +6x | −1 | ||
2x2 | −4x | +4 | ||||
… | +2x | +3 |
Col·loquem el dividend i el divisor en el seu lloc, amb els seus monomis ordenats de major a menor grau. Deixem un forat al lloc on aniria el monomi de grau 2 del dividend. |
Exercici 22
Efectua la següent divisió (x3+2x2−3x+5):(x2−2x−1). Indica clarament el quocient Q(x) i el residu R(x).
Solució:Exercici 23
Efectua la següent divisió (2x3−5x2+8x+4):(2x+1). Indica clarament el quocient Q(x) i el residu R(x).
Solució: