Exercicis de límits. Continuïtat de funcions
Exercici 1
Estudia la continuïtat de la funció:
\(\displaystyle
f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcc}
2x & \text{si} & x \lt 0 \\[1em]
-x^2+2x & \text{si} & 0 \le x \lt 2 \\[1em]
2 & \text{si} & 2 \le x \lt 4 \\[1em]
x-2 & \text{si} & x \ge 4 \\[1em]
\end{array}\right.
\)
en els punts \(x=0\), \(x=2\) i \(x=4\).
Solució:
En \(x=0\) la funció és contínua.
\(\displaystyle
\left.\begin{array}{r}
f(0)=0\\
\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=0\\
\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0
\end{array}\right\rbrace
\)
En \(x=2\) la funció té una discontinuïtat de salt i només és contínua per la dreta.
\(\displaystyle
\left.\begin{array}{r}
f(2)=2\\
\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=0\\
\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=2
\end{array}\right\rbrace
\)
En \(x=4\) la funció és contínua.
\(\displaystyle
\left.\begin{array}{r}
f(4)=2\\
\lim_{x\rightarrow 4^-}f(x)=2\\
\lim_{x\rightarrow 4^+}f(x)=2
\end{array}\right\rbrace
\)
Exercici 2
Cada una de les funcions següents té un punt o més on no és contínua. Indica quins són aquests punts i quin tipus de discontinuïtat presenten:
| a) \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1} \) |
Solució: |
En \( x=1 \) té una discontinuïtat asimptòtica.
|
| b) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2} \) |
Solució: |
En \( x=2 \) té una discontinuïtat evitable.
|
| c) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x}\) |
Solució: |
En \( x=0 \) té una discontinuïtat asimptòtica.
|
| d) \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}\) |
Solució: |
En \( x=-1 \) té una discontinuïtat asimptòtica.
En \(x=1\) té una discontinuïtat evitable.
|
| e) \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x-2&\text{si}&x \lt 3 \\[12pt]x+1&\text{si}&x \ge 3\end{array}\right.\) |
Solució: |
En \( x=3 \) té una discontinuïtat de salt.
|
| f) \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x&\text{si}&x \ne 1 \\[12pt]3&\text{si}&x = 1\end{array}\right.\) |
Solució: |
En \( x=1 \) té una discontinuïtat evitable.
|
Exercici 3
Calcula el valor de \(k\) perquè la funció
\(
\displaystyle f(x) =
\left\{\begin{array}{lll}
x^2+2x+k & \text{si} & x\lt 2 \\[12pt]
x+1 & \text{si} & x\ge 2
\end{array}\right.
\)
sigui contínua en \(\mathbb{R}\).
Solució:
Les dues expressions algebraiques que defineixen la funció són contínues. Per tant només cal exigir que la funció sigui contínua també en \(x=2\).
\(\displaystyle
\left.\begin{array}{r}
f(2)=3 \\[12pt]
\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=8+k \\[12pt]
\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=3
\end{array}\right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad 8+k=3
\quad\Rightarrow\quad k=-5
\)
Exercici 4
Raoneu per què la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x+\left|x\right|}{x}\) no té límit quan \(x\) tendeix a \(0\).
Solució:
La funció de l'enunciat és equivalent a:
\(
\displaystyle f(x) = \frac{x+\left|x\right|}{x} =
\left\{\begin{array}{lll}
0 & \text{si} & x\lt 0 \\[12pt]
2 & \text{si} & x\gt 0
\end{array}\right.
\)
Per tant els límits laterals no coincideixen:
\(\displaystyle
\left.\begin{array}{r}
\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=0 \\[12pt]
\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=2
\end{array}\right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x) \ne \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)
\)
Exercici 5
Calculeu els punts de discontinuïtat de la següent funció:
\(
\displaystyle f(x) =
\left\{\begin{array}{clc}
\displaystyle 3-x^2 & \text{si} & x \le -1 \\[12pt]
\displaystyle \frac{x^2-x}{x-1} & \text{si} & -1 \lt x \lt 1 \\[12pt]
\displaystyle \frac{x+3}{x^2-2x-3} & \text{si} & x \ge 1
\end{array}\right.
\)
Solució:
En \(x=-1\) la funció presenta una discontinuïtat de salt.
\(\displaystyle
\left.\begin{array}{l}
f(-1) = 2 \\[12pt]
\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} {f(x)} = \lim_{x\rightarrow -1^-} {\left( 3-x^2 \right)} = 2 \\[12pt]
\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^+} {f(x)} = \lim_{x\rightarrow -1^+} {\frac{x \cdot \left( x-1 \right)}{x-1} } = -1
\end{array}\right\rbrace
\)
En \(x=3\) la funció presenta una discontinuïtat asimptòtica.
\(\displaystyle
\left.\begin{array}{l}
f(-1) = 2 \\[12pt]
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3^-} {f(x)} = \lim_{x\rightarrow 3^-} {\frac{x+3}{\left( x+1 \right) \cdot \left( x-3 \right)}} = \frac{6}{4 \cdot 0^-} = -\infty\\[12pt]
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3^+} {f(x)} = \lim_{x\rightarrow 3^+} {\frac{x+3}{\left( x+1 \right) \cdot \left( x-3 \right)}} = \frac{6}{4 \cdot 0^+} = +\infty
\end{array}\right\rbrace
\)
Exercici 6
Calculeu els punts de discontinuïtat de la següent funció:
\(
\displaystyle f(x) =
\left\{\begin{array}{clc}
\displaystyle \frac{3x}{x^2+2} & \text{si} & x \lt -1 \\[12pt]
\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2-x} & \text{si} & -1 \le x \lt 1 \\[12pt]
\displaystyle \frac{2x+4}{x+2} & \text{si} & x \ge 1
\end{array}\right.
\)
Solució:
En \(x=-1\) la funció presenta una discontinuïtat de salt i en \(x=0\) una discontinuïtat asimptòtica.