Sigui f(x) una funció real de variable real, i sigui a un nombre real, no necessàriament del domini de la funció. Es diu que la funció f(x) tendeix a +∞ quan x tendeix a a per la esquerra, i s'escriu
si es verifica que, per a qualsevol successió {xn} de nombres del domini de f(x) menors que a que tendeix a a la successió de les imatges {f(xn)} tendeix a +∞.
De manera anàloga es diu que la funció f(x) tendeix a −∞ quan x tendeix a a per la esquerra, i s'escriu
si es verifica que, per a qualsevol successió {xn} de nombres del domini de f(x) menors que a que tendeix a a la successió de les imatges {f(xn)} tendeix a −∞.
Analògament es defineixen els límits infinits per la dreta:
Si els límits laterals per l'esquerra i per la dreta d'una funció en un punt a són tots dos iguals a +∞, aleshores es diu que el límit de la funció quan x tendeix a a és també igual a +∞.
Anàlogament, si els límits laterals per l'esquerra i per la dreta d'una funció en un punt a són tots dos iguals a −∞, aleshores es diu que el límit de la funció quan x tendeix a a és també igual a −∞.
A més, si els límits laterals per l'esquerra i per la dreta d'una funció en un punt a són tots dos infinits però de signe oposat, aleshores això es pot resumir dient que el límit de la funció quan x tendeix a a és igual a ∞ sense especificar el signe.
Si el límit lateral per un costat quan la x tendeix a a és infinit, aleshores la funció s'aproxima a la recta x=a per aquest costat sense arribar a creuar-la en cap moment. Aquesta recta s'anomena asímptota vertical.
Exemple 3
Anem a calcular el límit de la funció f(x)=x2+12x−2 quan x tendeix a 1.
La funció no està definida en x=1, però fem servir successions amb nombres que tendeixin a 1 del domini de f(x) i calculem les seves imatges per intentar deduir el límit. Comencem amb una successió amb valors menors que 1:
xf(x)0,000 -0,50000,500 -1,25000,800 -4,10000,900 -9,05000,950 -19,02500,980 -49,01000,990 -99,00500,995-199,00250,998-499,00100,999-999,0005⇒limx→1−f(x)=−∞
I ara fem el mateix amb una successió amb valors majors que 1:
xf(x)2,000 2,50001,500 3,25001,200 6,10001,100 11,05001,050 21,02501,020 51,01001,010 101,00501,005 201,00251,002 501,00101,0011001,0005⇒limx→1+f(x)=+∞
Podem resumir els dos límits laterals amb la següent expressió:
limx→1f(x)=∞
Exemple 4
Anem a calcular el límit quan x tendeix a 0 de la funció f(x)=1x2:
Fem servir primer una successió amb valors menors que 0:
xf(x)-1,0001-0,5004-0,20025-0,100100-0,050400-0,0202500-0,01010000-0,00540000-0,002250000-0,0011000000⇒limx→0−f(x)=+∞
I ara fem el mateix amb una successió amb valors majors que 0:
xf(x)1,00010,50040,200250,1001000,0504000,02025000,010100000,005400000,0022500000,0011000000⇒limx→0+f(x)=+∞
En aquest cas els dos límits laterals coincideixen. Per tant:
limx→0f(x)=+∞
Exercici 3
Donada la funció definida a trossos:
f(x)={2x+2six<−2−xx−2si−2≤x<25x−2six>2,
calcula les següents quantitats:
f(−2)= | limx→−2−f(x)= | limx→−2+f(x)= | limx→−2f(x)= |
f(0)= | limx→0−f(x)= | limx→0+f(x)= | limx→0f(x)= |
f(2)= | limx→2−f(x)= | limx→2+f(x)= | limx→2f(x)= |