Processing math: 100%

Límit infinit d'una funció en un punt a

Límits laterals infinits d'una funció en un punt a

Sigui f(x) una funció real de variable real, i sigui a un nombre real, no necessàriament del domini de la funció. Es diu que la funció f(x) tendeix a + quan x tendeix a a per la esquerra, i s'escriu

limxaf(x)=+

si es verifica que, per a qualsevol successió {xn} de nombres del domini de f(x) menors que a que tendeix a a la successió de les imatges {f(xn)} tendeix a +.

De manera anàloga es diu que la funció f(x) tendeix a quan x tendeix a a per la esquerra, i s'escriu

limxaf(x)=

si es verifica que, per a qualsevol successió {xn} de nombres del domini de f(x) menors que a que tendeix a a la successió de les imatges {f(xn)} tendeix a .

Analògament es defineixen els límits infinits per la dreta:

limxa+f(x)=+limxa+f(x)=

Límit infinit d'una funció en un punt a

Si els límits laterals per l'esquerra i per la dreta d'una funció en un punt a són tots dos iguals a +, aleshores es diu que el límit de la funció quan x tendeix a a és també igual a +.

limxaf(x)=+limxa+f(x)=+}limxaf(x)=+

Anàlogament, si els límits laterals per l'esquerra i per la dreta d'una funció en un punt a són tots dos iguals a , aleshores es diu que el límit de la funció quan x tendeix a a és també igual a .

limxaf(x)=limxa+f(x)=}limxaf(x)=

A més, si els límits laterals per l'esquerra i per la dreta d'una funció en un punt a són tots dos infinits però de signe oposat, aleshores això es pot resumir dient que el límit de la funció quan x tendeix a a és igual a sense especificar el signe.

limxaf(x)=limxa+f(x)=+}limxaf(x)=

limxaf(x)=+limxa+f(x)=}limxaf(x)=

Asímptotes verticals

Si el límit lateral per un costat quan la x tendeix a a és infinit, aleshores la funció s'aproxima a la recta x=a per aquest costat sense arribar a creuar-la en cap moment. Aquesta recta s'anomena asímptota vertical.

Exemple 3

Anem a calcular el límit de la funció f(x)=x2+12x2 quan x tendeix a 1.

La funció no està definida en x=1, però fem servir successions amb nombres que tendeixin a 1 del domini de f(x) i calculem les seves imatges per intentar deduir el límit. Comencem amb una successió amb valors menors que 1:

xf(x)0,000 -0,50000,500 -1,25000,800 -4,10000,900 -9,05000,950 -19,02500,980 -49,01000,990 -99,00500,995-199,00250,998-499,00100,999-999,0005limx1f(x)=

I ara fem el mateix amb una successió amb valors majors que 1:

xf(x)2,000 2,50001,500 3,25001,200 6,10001,100 11,05001,050 21,02501,020 51,01001,010 101,00501,005 201,00251,002 501,00101,0011001,0005limx1+f(x)=+

Podem resumir els dos límits laterals amb la següent expressió:

limx1f(x)=

1
1
(2.00,0.83)
1234567890?

Exemple 4

Anem a calcular el límit quan x tendeix a 0 de la funció f(x)=1x2:

Fem servir primer una successió amb valors menors que 0:

xf(x)-1,0001-0,5004-0,20025-0,100100-0,050400-0,0202500-0,01010000-0,00540000-0,002250000-0,0011000000limx0f(x)=+

I ara fem el mateix amb una successió amb valors majors que 0:

xf(x)1,00010,50040,200250,1001000,0504000,02025000,010100000,005400000,0022500000,0011000000limx0+f(x)=+

En aquest cas els dos límits laterals coincideixen. Per tant:

limx0f(x)=+

1
1
(2.00,0.25)
1234567890?

Exercici 3

Donada la funció definida a trossos:

f(x)={2x+2six<2xx2si2x<25x2six>2,

calcula les següents quantitats:


Veure la solució:
f(2)= limx2f(x)= limx2+f(x)= limx2f(x)=
f(0)= limx0f(x)= limx0+f(x)= limx0f(x)=
f(2)= limx2f(x)= limx2+f(x)= limx2f(x)=

Llicència de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons