Càlcul de límits (IV)

Indeterminacions $1^\infty$

Les indeterminacions $1^\infty$ apareixen quan es calculen límits de la forma $\displaystyle \lim_{x\to a}{f(x)^{g(x)}}$, amb $\displaystyle \lim_{x\to a}{f(x)}=1$ i $\displaystyle \lim_{x\to a}{g(x)}=\infty$. En aquests casos es presenta un conflicte entre les regles:

$1^k=1 \quad \left( \forall k \in \mathbb{R} \right)$

$a^{+\infty}=+\infty \quad \left( \text{si } a \lt 1 \right)$

o bé entre les regles:

$1^k=1 \quad \left( \forall k \in \mathbb{R} \right)$

$a^{+\infty}=0 \quad \left( \text{si } 0 \lt a \lt 1 \right)$

El nombre $e$

Les indeterminacions $1^\infty$ es resolen fent servir el nombre irracional $e$ que es defineix com el límit de la successió $\displaystyle a_n = \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$

$\displaystyle e = \lim {\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n} = \text{2,718281828459045235360287471353... }$

Aquesta definició també és vàlida si es canvia la successió per la funció de variable real $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ i es fa tendir la variable $x$ a $+\infty$

$\displaystyle e = \lim_{x\to +\infty} {\left( 1+\frac{1}{x} \right)^x}$

I el mateix si $x$ tendeix a $-\infty$

$\displaystyle e = \lim_{x\to -\infty} {\left( 1+\frac{1}{x} \right)^x}$

I una definició encara més general és:

$\displaystyle e = \lim_{x\to a} {\left( 1+\frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)}} \quad\quad\text{si}\quad\quad \lim_{x\to a} {f(x)} = \infty$

Mètode abreviat

Tots els pasos per calcular aquests límits es poden resumir en una fórmula. Si $\displaystyle\lim_{x\to a}{f(x)}=1$ i $\displaystyle\lim_{x\to a}{g(x)}=\infty$, aleshores:

I de vegades també es pot fer servir aquesta altra fórmula equivalent:

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons