Processing math: 100%

Continuïtat d'una funció

Continuïtat d'una funció en un punt

Una funció és contínua en un punt x=a si es verifiquen les tres condicions següents:

  1. La funció està definida a x=a, és a dir, existeix f(a).
  2. Existeix el límit de la funció quan x tendeix a a.
  3. Aquests dos valors són iguals, és a dir:

    limxaf(x)=f(a)

Exemple 6

Error

La funció f(x)=x23 és contínua en x=2

limx2f(x)=1limx2+f(x)=1f(2)=1

La funció definida a trossos:

f(x)={4six<2x1six2

és discontínua en x=2

limx2f(x)=4limx2+f(x)=1f(2)=1

Error
Error

La funció definida a trossos:

f(x)={1six01xsix>0

és discontínua en x=0

limx0f(x)=1limx0+f(x)=+f(0)=1

La funció f(x)=x21x1 és discontínua en x=1

limx1f(x)=2limx1+f(x)=2f(1)

Error

Continuïtat lateral en un punt

Una funció és contínua per l'esquerra en un punt x=a (o semicontínua per l'esquerra) si es verifiquen les tres condicions següents:

  1. La funció està definida a x=a, és a dir, existeix f(a).
  2. Existeix el límit per l'esquerra de la funció quan x tendeix a a.
  3. Aquests dos valors són iguals, és a dir:

    limxaf(x)=f(a)

I, anàlogament, una funció és contínua per la dreta en un punt x=a (o semicontínua per la dreta) si es verifiquen les tres condicions següents:

  1. La funció està definida a x=a, és a dir, existeix f(a).
  2. Existeix el límit per la dreta de la funció quan x tendeix a a.
  3. Aquests dos valors són iguals, és a dir:

    limxa+f(x)=f(a)

Exemple 7

De les funcions de l'exemple 6 que presenten una discontinuïtat, hi ha dues que són contínues per un costat.

La funció definida a trossos:

f(x)={4six<2x1six2

és contínua per la dreta en x=2

limx2f(x)=4limx2+f(x)=1f(2)=1

Error
Error

La funció definida a trossos:

f(x)={1six01xsix>0

és contínua per l'esquerra en x=0

limx0f(x)=1limx0+f(x)=+f(0)=1

Continuïtat en un interval

Una funció és contínua en un interval obert (a,b) si ho és en cada un dels seus punts.

Una funció és contínua en un interval tancat [a,b] si ho és en tots els punts de l'interval (a,b) i, a més, és contínua per la dreta en a i per l'esquerra en b.

Una funció és contínua o contínua en el seu domini si ho és en cada un dels punts en què està definida.

Exemple 8

La funció f(x)=x està definida en [0,+). La seva representació gràfica és:

Error

Aquesta funció és contínua en tots els punt de [0,+) i a més és contínua per la dreta en x=0. Per tant és una funció contínua.

Tipus de discontinuïtats

Una funció f(x) té una discontinuïtat evitable en un punt x=a quan existeix el límit de la funció en x=a i és un nombre real, però no coincideix amb el valor de la funció en x=a, ja sigui perquè f(a) pren un valor diferent o bé perquè f(a) no existeix.

Exemple 9

Les següents funcions presenten discontinuïtats evitables en x=3:

Error

limx3f(x)=2limx3+f(x)=2f(3)

Error

limx3f(x)=2limx3+f(x)=2f(3)=1

Una funció f(x) té una discontinuïtat de salt en un punt x=a quan existeixen els límits laterals de la funció en x=a, però són dos nombres reals diferents. Aquesta definició es independent de si f(a) existeix o no.

Exemple 10

Les següents funcions presenten discontinuïtats de salt en x=3:

Error

limx3f(x)=1limx3+f(x)=2f(3)=2

Error

limx3f(x)=1limx3+f(x)=2f(3)=3

Una funció f(x) té una discontinuïtat asimptòtica en un punt x=a si un dels límits laterals, o tos dos, és infinit.

Exemple 11

Les següents funció presenta una discontinuïtat asimptòtica en x=2:

Error

limx2f(x)=limx2+f(x)=+f(2)


Llicència de Creative Commons
Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons