Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons
Una funció és contínua en un punt x=a si es verifiquen les tres condicions següents:
limx→af(x)=f(a)
Exemple 6
|
La funció f(x)=x2−3 és contínua en x=2 limx→2−f(x)=1limx→2+f(x)=1f(2)=1 |
|
|
La funció definida a trossos: f(x)={4six<2x−1six≥2 és discontínua en x=2 limx→2−f(x)=4limx→2+f(x)=1f(2)=1 |
|
|
La funció definida a trossos: f(x)={1six≤01xsix>0 és discontínua en x=0 limx→0−f(x)=1limx→0+f(x)=+∞f(0)=1 |
|
|
La funció f(x)=x2−1x−1 és discontínua en x=1 limx→1−f(x)=2limx→1+f(x)=2∄f(1) |
Una funció és contínua per l'esquerra en un punt x=a (o semicontínua per l'esquerra) si es verifiquen les tres condicions següents:
limx→a−f(x)=f(a)
I, anàlogament, una funció és contínua per la dreta en un punt x=a (o semicontínua per la dreta) si es verifiquen les tres condicions següents:
limx→a+f(x)=f(a)
Exemple 7
De les funcions de l'exemple 6 que presenten una discontinuïtat, hi ha dues que són contínues per un costat.
|
La funció definida a trossos: f(x)={4six<2x−1six≥2 és contínua per la dreta en x=2 limx→2−f(x)=4limx→2+f(x)=1f(2)=1 |
|
|
La funció definida a trossos: f(x)={1six≤01xsix>0 és contínua per l'esquerra en x=0 limx→0−f(x)=1limx→0+f(x)=+∞f(0)=1 |
Una funció és contínua en un interval obert (a,b) si ho és en cada un dels seus punts.
Una funció és contínua en un interval tancat [a,b] si ho és en tots els punts de l'interval (a,b) i, a més, és contínua per la dreta en a i per l'esquerra en b.
Una funció és contínua o contínua en el seu domini si ho és en cada un dels punts en què està definida.
Exemple 8
La funció f(x)=√x està definida en [0,+∞). La seva representació gràfica és:
Aquesta funció és contínua en tots els punt de [0,+∞) i a més és contínua per la dreta en x=0. Per tant és una funció contínua.
Una funció f(x) té una discontinuïtat evitable en un punt x=a quan existeix el límit de la funció en x=a i és un nombre real, però no coincideix amb el valor de la funció en x=a, ja sigui perquè f(a) pren un valor diferent o bé perquè f(a) no existeix.
Exemple 9
Les següents funcions presenten discontinuïtats evitables en x=3:
|
limx→3−f(x)=2limx→3+f(x)=2∄f(3) |
|
|
limx→3−f(x)=2limx→3+f(x)=2f(3)=1 |
Una funció f(x) té una discontinuïtat de salt en un punt x=a quan existeixen els límits laterals de la funció en x=a, però són dos nombres reals diferents. Aquesta definició es independent de si f(a) existeix o no.
Exemple 10
Les següents funcions presenten discontinuïtats de salt en x=3:
|
limx→3−f(x)=1limx→3+f(x)=2f(3)=2 |
|
|
limx→3−f(x)=1limx→3+f(x)=2f(3)=3 |
Una funció f(x) té una discontinuïtat asimptòtica en un punt x=a si un dels límits laterals, o tos dos, és infinit.
Exemple 11
Les següents funció presenta una discontinuïtat asimptòtica en x=2:
|
limx→2−f(x)=−∞limx→2+f(x)=+∞∄f(2) |