Dos plans a l'espai poden ser paral·lels o secants. També es fa servir l'expressió plans coincidents per referir-se a equacions que representen el mateix pla.
Siguin dos plans donats per les seves equacions generals:
\(\begin{array}{l}\pi_1:\;A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[6pt]\pi_2:\;A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{array}\)
Si \(\displaystyle \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}\), aleshores les equacions són iguals o proporcionals i representen el mateix pla. Els plans són coincidents.
Si \(\displaystyle \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne\frac{D_1}{D_2}\), aleshores el sistema d'equacions és incompatible, ja que \(\textrm{rang}M=1\) i \(\textrm{rang}M'=2\). Els plans són paral·lels.
En qualsevol altre cas \(\textrm{rang}M=2\) i \(\textrm{rang}M'=2\). Per tant el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat, que és la diferència entre el nombre d'incògnites i el rang. La solució general d'aquest sistema s'expressa amb un paràmetre i coincideix amb l'equació d'una recta. Els plans són secants.
Exercici 21
Considera els plans d'equacions:
\( \displaystyle \begin{array}{l} \pi_1:\,kx+3y+8z=5 \\[6pt] \pi_2:\,-x-6y-4z=10 \end{array} \)
Raona si poden ser paral·lels per a algun valor de \(k\).
Exercici 22
Determina \(a\) i \(b\) per tal que els dos plans siguin paral·lels:
\( \displaystyle \begin{array}{l} \pi_1:\, ax+12y-8z+20 = 0 \\[6pt] \pi_2:\,10x- 9y+6z+ b = 0 \end{array} \)
| Solució: |