Les raons trigonomètriques sinus, cosinus i tangent d'un angle agut es defineixen com a quocients de costats d'un triangle rectangle que contingui aquest angle agut.
| \(\displaystyle\sin\alpha=\frac{\text{catet oposat}}{\text{hipotenusa}}\) | ||
| \(\displaystyle\cos\alpha=\frac{\text{catet contigu}}{\text{hipotenusa}}\) | ||
| \(\displaystyle\tan\alpha=\frac{\text{catet oposat}}{\text{catet contigu}}\) |
Es diu que aquestes raons depenen de l'angle i no de la mesura dels seus costats degut a que són les mateixes per a triangles semblants.
Exercici 3:
Resol els següents triangles rectangles:
| a)
|
Solució: | |
| b)
|
Solució: | |
| c)
|
Solució: | |
| d)
|
Solució: |
Existeixen d'altres raons trigonomètriques derivades de les anteriors. Són la cosecant, que és la inversa del sinus; la secant, que és la inversa del cosinus i la cotangent, que és la inversa de la tangent.
|
\(\displaystyle \begin{align} \sin\alpha&=\frac{a}{c}\quad\quad &\csc\alpha&=\frac{c}{a} \\[10pt] \cos\alpha&=\frac{b}{c} &\sec\alpha&=\frac{c}{b} \\[10pt] \tan\alpha&=\frac{a}{b} &\cot\alpha&=\frac{b}{a} \\ \end{align} \) |
Exemple:
Volem calcular de manera exacta les raons trigonomètriques d'un angle de \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\).
Calcularem les raons a partir d'un triangle rectangle isòsceles. Com que les raons trigonomètriques només depenen de l'angle agafem un amb catets que mesurin \(1\). La hipotenusa es calcula amb el teorema de Pitàgoras:
\(\displaystyle x^2=1^2+1^2 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{2} \)
Aleshores:
\(\displaystyle \begin{align} \sin \frac{\pi}{4}&=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\quad &\csc \frac{\pi}{4}&=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \\[10pt] \cos \frac{\pi}{4}&=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\quad &\sec \frac{\pi}{4}&=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \\[10pt] \tan \frac{\pi}{4}&=\frac{1}{1}=1 &\cot \frac{\pi}{4}&=\frac{1}{1}=1 \\ \end{align} \)
Exercici 4:
Calcula de manera exacta les raons trigonomètriques d'un angle de \(30^{\circ}\) i d'un de \(60^{\circ}\). Agafa com a triangle rectangle qualsevol dels dos triangles que s'obtenen quan dibuixem una de les altures d'un triangle equilàter.
Solució:Exercici 6:
Calcula l'àrea d'un enneàgon regular inscrit a una circumferència de radi \(r=15\,\text{cm}\).